CADERNO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS
Agrarian Sciences Journal
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Atribuição - Não Comercial 4.0 Internacional
Uso de modelos não lineares para avaliar a curva de crescimento de ovinos
Mylena Cristina Ribeiro Borges1, Gustavo Roberto Dias Rodrigues2*, Camila Raineri3, Gilberto de Lima
Macedo Júnior4, Natascha Almeida Marques da Silva5
DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2023.45002
Resumo
Objetivou-se utilizar modelos de regressão não linear para avaliar a curva de crescimento de cordeiros. Para isso,
foram utilizados dados referentes ao peso e idade de 70 cordeiros mestiços Dorper x Santa Inês nascidos entre os
anos de 2016 a 2019. O sistema de produção era intensivo e semi-confinado. Os dados dos animais foram ajustados
por meio dos modelos não lineares Brody, Von Bertalanffy, logístico e Gompertz. Para comparar o ajuste dos modelos
foram utilizados os avaliadores de qualidade do ajuste: quadrado médio do erro (QME), coeficiente de determinação
(R2) e porcentagem de convergência (%conv). As curvas de crescimento foram feitas por ajustes individuais. Todas
as análises foram realizadas utilizando o software RStudio, versão R 4.1.2. O modelo Logístico foi o que melhor
estimou o parâmetro a (peso adulto) com 48,09 kg, enquanto os demais superestimaram a realidade biológica do
parâmetro. Da mesma forma, apresentou o maior valor referente ao parâmetro k (taxa de maturidade) com 0,0219.
Todos os modelos obtiveram coeficiente de determinação (R²) superior a 96%. O modelo de Von Bertalanffy apresen-
tou o menor QME (1,61), seguido de Gompetz (2,27), Logístico (2,76) e Brody (3,36). O modelo Logístico obteve a
maior percentagem de convergência de dados (87,14%), seguido de Gompertz (71,43%), Von Bertalanffy (35,71%)
e Brody (10%). Portanto, o modelo logístico apresentou o melhor ajuste perante os demais com R² adequado, baixo
QME, alta porcentagem de convergência e valor assintótico adequado, não tendendo a superestimar o peso adulto.
Palavras-chave: Avaliadores de qualidade. Modelo logístico. Peso adulto. Quadrado médio do erro.
Use of nonlinear models to evaluate the growth curve of lambs
Abstract
The objective was to use non-linear regression models to evaluate the growth curve of lambs. For this, data regarding
the weight and age of 70 crossbred Dorper x Santa Inês lambs born between the years 2016 to 2019 were used. The
production system was intensive and semi-confined. The animal data were adjusted using non-linear Brody, Von
Bertalanffy, logistic and Gompertz models. To compare the fit of the models, the adjustment quality evaluators were
used: mean square error (MSE), coefficient of determination (R2) and percentage of convergence (%conv). The gro-
wth curves were made by individual adjustments. All analyzes were performed using the RStudio software, version
R 4.1.2. The Logistic model was the one that best estimated the parameter a (adult weight) with 48.09 kg, while the
others overestimated the biological reality of the parameter. Likewise, it presented the highest value for parameter k
(maturity rate) with 0.0219. All models obtained a coefficient of determination (R²) greater than 96%. Von Bertalanf-
fy’s model had the lowest SMQ (1.61), followed by Gompetz (2.27), Logistic (2.76) and Brody (3.36). The Logistic
1Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Medicina Veterinária, Zootecnista. Uberlândia, MG. Brasil.
https://orcid.org/0009-0005-1906-1246
2Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Medicina Veterinária, Estudante de Zootecnia. Uberlândia, MG. Brasil.
https://orcid.org/0000-0001-9438-3724
3Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Medicina Veterinária, Docente do curso de Zootecnia. Uberlândia, MG. Brasil
https://orcid.org/0000-0002-6398-5033
4Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Medicina Veterinária, Docente do curso de Zootecnia. Uberlândia, MG. Brasil.
https://orcid.org/0000-0001-5781-7917
5Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Medicina Veterinária, Docente do curso de Zootecnia. Uberlândia, MG. Brasil.
https://orcid.org/0000-0003-2318-1791
*Autor para correspondência: grdrodrigues@outlook.com
Recebido para publicação em 03 de março de 2023. Aceito para publicação em 08 de maio de 2023.
e-ISSN: 2447-6218.
Borges, M. C. R. et al.
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model had the highest percentage of data convergence (87.14%), followed by Gompertz (71.43%), Von Bertalanffy
(35.71%) and Brody (10%). Therefore, the logistic model showed the best fit compared to the others with adequate R²,
low MSE, high percentage of convergence and adequate asymptotic value, not tending to overestimate adult weight.
Keywords: Adult weight. Logistic model. Mean square error. Quality evaluators.
Introdução
O conceito de crescimento animal pode ser es-
tabelecido como as alterações ocorridas na massa e no
volume de um tecido ou organismo em uma unidade de
tempo (Kucukonder et al., 2020). Tais acontecimentos
estão altamente associados a fatores intrínsecos e ex-
trínsecos aos animais, como a genética e ambiência. O
crescimento é uma das características mais importantes
na produção animal, sendo fundamental que criadores
conheçam a interação entre crescimento e idade de seus
animais (Sharif et al., 2021). Dessa forma, é possível es-
tabelecer estratégias adequadas de alimentação, manejo
e reprodução, além de determinar a melhor idade para
abate.
Nesse aspecto, pesquisas focadas em avaliar cur-
vas de crescimento de diferentes espécies de animais vêm
ganhando relevância e destaque na literatura. A justifica-
tiva para a alta diversidade de trabalhos envolvendo esse
tema é pautada no desenvolvimento de novos métodos
computacionais para análises mais rápidas e precisas,
assim como a disponibilidade de diferentes modelos a
serem testados (Hossein-Zadeh, 2015).
Dessa forma, várias equações não lineares foram
propostas para definição de tendências de crescimento,
sendo os modelos de Brody, logístico, von Bertalanffy
e Gompertz os mais difundidos para tal aplicabilidade.
Matematicamente, a curva de crescimento é definida como
o peso corporal em função da idade, abrangendo toda ou
parte da vida do animal (Sharif et al., 2021). O formato
predominante das curvas de crescimento corresponde
ao sigmoide, onde há uma taxa de crescimento rápida
e positiva do nascimento até o ponto de inflexão. Em
seguida, se observa uma redução na taxa de crescimento
até sua estabilização, indicando o peso maduro do animal
ou valor assintótico, (Selvaggi et al., 2017).
A aplicabilidade a campo deste tipo de pesqui-
sa é fundamental, pois oferece base para avaliação da
produtividade de um rebanho. Animais com taxa de
crescimento lenta resultam em perdas de produtividade e
limitam a lucratividade do sistema (Farrell et al., 2020).
Os modelos conseguem descrever o ganho de peso e ava-
liam parâmetros biológicos, incluindo peso adulto (A),
taxa de ganho de peso (B) e taxa de maturidade (K). No
melhoramento animal, a principal vantagem dos modelos
de crescimento é a sua utilização na seleção de animais
mais apropriados para características específicas (A, B
e/ou K) (Sharif et al., 2021).
A relevância desse trabalho apresenta-se por
existirem poucos estudos que avaliaram a curva de cres-
cimento de ovinos Brasil. Até a elaboração desse artigo
não foram encontradas pesquisas que mensuraram o
crescimento de ovinos cruzados das raças Dorper e Santa
Inês (um dos mais utilizados no país), em um sistema
intensivo com clima tropical, usando modelos de regres-
são não linear. Sendo assim, o objetivo desse trabalho
é utilizar modelos de regressão não linear para avaliar
a curva de crescimento de cordeiros mestiços das raças
Dorper e Santa Inês. Com isso, a partir das estimativas
dos parâmetros do modelo e dos avaliadores de quali-
dade será indicado o melhor modelo para descrever o
crescimento desses animais.
Material e métodos
Animais e local
Os dados utilizados foram provenientes de re-
gistros zootécnicos do setor de ovinos e caprinos da Uni-
versidade Federal de Uberlândia, pertencente à Fazenda
Experimental Capim Branco, situada na cidade de Uber-
lândia - MG, Brasil (latitude: 18º30’25’’S, longitude:
47º50’50’’O e altitude: 863 metros). Foram utilizados
dados referentes ao peso e idade de 70 cordeiros mesti-
ços Dorper x Santa Inês nascidos entre os anos de 2016
a 2019. Cada animal teve no mínimo três pesagens em
idades distintas.
As pesagens dos animais foram realizadas em
idades diferentes, ou seja, os intervalos e quantidades
de pesagens variaram entre as unidades experimentais.
Todos os cordeiros foram pesados ao nascimento e a
desmama, que ocorria em média aos 60 dias de idade.
A última pesagem dos animais variou entre 110 a 199
dias de idade. A Tabela 1 contêm medidas descritivas
referentes ao peso dos animais utilizados.
O sistema de produção abordado foi do tipo in-
tensivo e semi-confinado. Os cordeiros ficaram confinados
em baias coletivas de aproximadamente 20 m², recebendo
creep feeding desde o nascimento. A dieta desses animais
após o desmame era baseada em alimentos concentrados
(60,00% de milho moído, 36,00% de farelo de soja, 1,00%
de ureia e 3,00% de sal mineral) e silagem de milho. O
concentrado apresentava aproximadamente 90,00% de
matéria seca, 25,00% de proteína bruta e 82,00% de nu-
trientes digestíveis totais. Já a silagem de milho continha
30,00% de matéria seca, 7,00% de proteína bruta, 63,00%
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de nutrientes digestíveis totais e 2,00% de extrato etéreo.
Além disso, os cordeiros recebiam suplementação de sal
proteinado, em cocho específico, na dose de 20g/kg/dia
e água ad libitum. Todas as dietas fornecidas aos animais
eram balanceadas de acordo com o National Research
Council (NRC, 2007) para ganhos de 300g/dia.
Análises estatísticas
Os dados dos animais foram ajustados por meio
dos modelos não lineares Brody, Von Bertalanffy, logístico
e Gompertz (Sharif et al., 2021). A tabela 2 contêm a
descrição das funções utilizadas.
Tabela 1 – Peso mínimo, máximo e médio dos cordeiros avaliados durante o nascimento, desmame e última pesagem.
Idade Peso mínimo Peso máximo Peso Médio Desvio Padrão
Nascimento 2,18 5,98 3,93 0,80
Desmama 5,90 23,57 14,34 4,28
Última pesagem 21,6 54,30 35,56 7,79
Tabela 2 – Modelos não lineares usados para ajuste dos dados
Função Equação No de parâmetros
Brody 3
Von Bertalanffy 3
Logística 3
Gompertz 3
Onde y representa o peso corporal na idade t
(dia). O parâmetro a é o valor assintótico da função
quando t (tempo, idade) tende ao infinito, representando
o peso adulto do animal. O parâmetro b, ou constante de
integração, não possui interpretação biológica e é utilizado
para adequar o valor inicial do peso vivo, nesse caso, o
peso ao nascer. O parâmetro k é uma função entre a taxa
média de crescimento e o peso adulto do animal, sendo
referido como taxa de maturidade (Sharif et al., 2021).
Para comparar o ajuste dos modelos foram utiliza-
dos os seguintes avaliadores de qualidade do ajuste: qua-
drado médio do erro (QME), coeficiente de determinação
(R2) e porcentagem de convergência. Juntamente com os
avaliadores de qualidade de ajuste, para a determinação
do melhor modelo foi utilizado a interpretação biológica
da média dos parâmetros individuais estimados (Varanis
et al., 2016). A interpretação biológica dos parâmetros
estimados também pode ser considerado um avaliador de
qualidade de ajuste, uma vez que quanto mais próximos
a estimativa dos parâmetros estão da realidade biológica
do animal, melhor ajuste possui um modelo.
O quadrado médio do erro evidencia a estimativa
da variância residual, em que menores valores indicam
o melhor modelo, sendo representado pela equação (1):
(Eq. 1)
Onde QME = quadrado médio do erro; n = número de observações
utilizadas para ajustar a curva; p = número de parâmetros na função
O coeficiente de determinação resulta na ca-
pacidade do modelo em se ajustar às observações. Sua
expressão é dada pela equação (2):
(Eq. 2)
Onde R² = coeficiente de determinação; SQR = soma de quadrado de
resíduos do modelo; SQT = soma de quadrados total.
Já a porcentagem de convergência é utilizada
para ajustes individuais, sendo utilizada para observar
qual modelo possui maior convergência, representada
pela porcentagem de ajustes que convergiram.
As curvas de crescimento foram feitas por ajustes
individuais. Todas as análises foram realizadas utilizando
o software RStudio, versão R 4.1.2 (R Core Team, 2022).
As estimativas iniciais, necessárias para a obtenção das
estimativas dos parâmetros, foram geradas por meio do
método gráfico iterativo para valores iniciais de regressão
não linear, utilizando o pacote manipulate e função mani-
pulate () para cada um dos quatro modelos de regressão
não-linear utilizados no presente estudo. Para o ajuste
Borges, M. C. R. et al.
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individual de cada animal realizado por cada modelo foi
utilizado a função rp.nls (). Os avaliadores de qualidade de
ajuste foram obtidos pelas estimativas da função rp.nls ().
Resultados e discussão
Na Tabela 3 estão dispostos os resultados referen-
tes aos parâmetros dos modelos não lineares (a, b, k) e os
avaliadores de qualidade (R², QME e % conv). O modelo
Logístico foi o que melhor estimou o parâmetro a (48,09
kg), enquanto os demais superestimaram a realidade
biológica do parâmetro. Da mesma forma, apresentou o
maior valor referente ao parâmetro k (0,0219), indicando
crescimento precoce dos cordeiros.
Tabela 3 – Estimativas dos parâmetros a, b e k, coeficiente de determinação (R²), quadrado médio do erro (QME),
percentagem de convergência (% conv) de cada modelo.
Modelos a b k R2QME %conv
Brody 64,38 0,94 0,0048 0,96 3,36 10,00
Logístico 48,09 8,97 0,0219 0,97 2,76 87,14
Von Bertalanffy 59,67 0,64 0,0093 0,98 1,61 35,71
Gompertz 57,34 2,69 0,0119 0,97 2,27 71,43
a = valor assintótico; b = constante de integração; k = taxa de maturidade; R² = coeficiente de determinação; QME = quadrado médio do erro;
%conv = porcentagem de convergência.
É importante ressaltar que o fato de o modelo
Logístico ter apresentado a maior taxa de crescimento
(k) dos animas indica o potencial desses cordeiros de
atingirem a maturidade mais rápido. Em sistemas de
produções de ovinos, a precocidade é um item que se
deve ser levado em consideração, tendo em vista que,
quanto mais veloz for desenvolvimento desses indivíduos,
mais rápido os mesmos serão comercializados. Assim,
são abatidos em idade mais jovem e permanecem menos
tempo no sistema de produção, ocasionando menor custo
com insumos (Raineri et al., 2015).
Com relação aos avaliadores de qualidade, todos
os modelos elaborados obtiveram coeficiente de determi-
nação (R²) superior a 96%. Esse resultado indica ótima
capacidade dos mesmos para predição de resíduos e
descrição dos dados. Tendo em vista o quadrado médio
do erro (QME), o modelo de Von Bertalanffy apresentou o
menor valor (1,61), seguido de Gompetz (2,27), Logístico
(2,76) e Brody (3,36). Já o percentual de convergência
(%conv) é um parâmetro importante em estudos de cur-
vas individuais de crescimento, visto que se um modelo
apresenta qualidade de ajuste alta porém porcentagem
de convergência baixa, tem-se um número reduzido de
animais ajustados por aquele modelo. O modelo Logís-
tico obteve a maior percentagem de convergência de
dados (87,14%), seguido de Gompertz (71,43%), Von
Bertalanffy (35,71%) e Brody (10%). Portanto, o modelo
logístico apresentou o melhor ajuste perante os demais,
tendo em vista que teve R² adequado com baixo QME
e alta porcentagem de convergência. Essas informações
vão de acordo com os resultados obtidos por Van der
Merwe et al. (2019), Farhadian et al. (2022) e Weber et
al. (2021), onde os autores também constataram melhor
capacidade de predição pelo modelo Logístico.
Para exemplificar os ajustes dos modelos, foram
estimados o peso ao nascer e aos 180 dias de idade pe-
los modelos de Gompertz, Von Bertallanfy e Logístico.
O modelo de Brody não foi representado por sua baixa
convergência. Para isso foi escolhido um animal que
convergiu nesses três modelos, ou seja, as pesagens desse
indivíduo condizem com valores preditos pelos modelos
estudados (Tabela 4)
Tabela 4 – Médias estimadas e observadas de peso ao nascer e peso aos 180 dias referentes ao animal escolhido e
assíntota por modelo.
Modelo Peso ao nascer (kg) Peso aos 180 dias (kg) Assíntota (kg)
Estimado Observado Estimado Observado
Gompertz 3,88
4,63
41,80
50,40
57,35
Von Bertallanfy 2,69 40,56 59,68
Logístico 4,82 40,96 48,10
Observou-se que os três modelos obtiveram bons
resultados. Porém, o Logístico teve uma maior aproxima-
ção do peso ao nascer estimado com o peso observado.
Contudo, os valores estimados de peso aos 180 dias se
mostraram subestimados em relação ao valor observado
para o cordeiro avaliado. Entretanto, é possível observar
em relação ao peso assintótico que o modelo logístico foi
que apresentou maior desaceleração do crescimento.
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Para melhor visualização desses resultados foram
elaborados dois gráficos representados pelas Figuras 1
e 2. Na Figura 1 é possível observar as curvas estimadas
dos modelos Von Bertalanffy, Logístico e Gompertz, além
de dois animais, cordeiros 47 e 56, que apresentaram o
menor (33,99 kg) e maior peso (50,40 kg), respectiva-
mente.
Figura 1 – Curvas de crescimento estimadas pelos modelos Gompertz, Von Bertalanffy e Logístico e crescimento dos
animais 47 e 56.
Dessa forma, é possível afirmar que os três mode-
los demonstraram ajustes muito próximos e se aproxima-
ram das curvas de crescimento dos animais observados,
principalmente no início do crescimento. As estimativas
começam a se distanciar dos dados observados por volta
de 100 dias de vida, marcando o início da puberdade.
Como a unidade mais velha tinha 199 dias em sua última
pesagem, a figura 1 foi confeccionada até esse limite de
idade, onde é possível visualizar o distanciamento dos
animais observados em relação a curva estimada.
Contudo, no intuito de projetar estimativas de
crescimento até a idade adulta, a figura 2 foi elaborada.
Quando se compara a curva estimada de crescimento dos
três modelos até um ano de idade (350 dias), observa-se
que o modelo Logístico tende a se estabilizar por volta
de 200 a 250 dias, mostrando uma tendência a uma
curva sigmoide que é característica do crescimento. Já os
modelos Von Bertalanffy e Gompertz, continuam a curva
de maneira crescente, tendendo a uma superestimação
do peso adulto dos animais.
Figura 2 – Curvas de crescimento com valores estimados pelos modelos Gompertz, Von Bertalanffy e Logístico.
É necessário ter cautela ao utilizar modelos que
superestimem o crescimento dos animais em nível de
campo, uma vez que podem ser criadas expectativas sobre
algo inviável de se acontecer. Modelos de crescimento
são fundamentais para auxiliar criadores a selecionarem
animais superiores por meio da taxa de crescimento e
Borges, M. C. R. et al.
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peso adulto. Assim, haverá ampliação da produtividade
do sistema por meio da prevalência de cordeiros com
maior potencial de ganho de peso em um menor período
de tempo.
Conclusão
Com base na análise conjunta dos avaliadores de
qualidade e na interpretação biológica dos parâmetros do
modelo, foi possível observar que o modelo logístico foi
o mais apropriado para estimar a curva de crescimento
dos animais avaliados. Esse modelo apresentou um alto
coeficiente de determinação (R²; 0,97), o que indica
que ele explica adequadamente a variação nos dados
observados. Além disso, o modelo apresentou uma alta
porcentagem de convergência (%conv; 87,14%), o que
indica que ele é robusto e confiável. Da mesma forma, o
modelo logístico também apresentou um baixo quadrado
médio do erro (QME; 2,76), o que significa representa
um bom ajuste aos dados observados. O valor assintóti-
co adequado (48,08 kg) e a maior taxa de maturidade
(0,0219) também são indicativos de que esse modelo é
capaz de estimar o peso adulto sem superestimá-lo.
A partir desses resultados, o modelo logístico
pode ser útil para prever o crescimento futuro de ovinos
e se tornar uma ferramenta valiosa para a tomada de
decisões em criações de ovinos. No entanto, é importante
ressaltar que outras pesquisas devem ser realizadas para
verificar se o modelo logístico é adequado para outras
raças de ovinos e em diferentes condições ambientais.
Contribuição dos autores
MCRB: autora do trabalho de conclusão de cur-
so que originou o artigo, estudo estatístico dos dados.
GRDR: Redação do artigo. CR: auxilio na orientação
para direcionamento do objetivo do trabalho, discussão
de resultados. GLMJ: Disponibilização de dados para
pesquisa, redação do artigo. NAMS : orientação de todas
as etapas do trabalho.
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