Planejamento de ensaios
changeover
na experimentação animal
Tatiane Carvalho Alvarenga
1*
; Lucas Monteiro Chaves
2
; Renato Ribeiro de Lima
3
DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
Resumo
Na experimentação com animais de grande porte, principalmente com vacas leiteiras é muito comum à utilização de ensaios
alternativos. Nesse tipo de ensaio os animais recebem em sequências dois ou mais tratamentos. As principais justificativas para
o uso desse tipo particular de ensaio se devem ao alto custo dos animais e a heterogeneidade des- ses animais. Esses ensaios
são classificados basicamente em dois tipos: Ensaios Rotativos (Changeover) e Ensaios de Reversão (Switch-back). Para
garantir que os efeitos dos tratamentos sejam avaliados adequadamente, regras pré-
-estabelecidas e restrições na casualização dos tratamentos são necessárias no planejamento de tais ensaios. Assim, o objetivo
deste artigo é apresentar possíveis formas de se planejar delineamentos changeover e foi desenvolvida uma rotina no software
R para a determinação do número de changeover balanceadas de uma ordem n, já que na literatura foi encontrado o número
de possíveis changeover balanceadas apenas para experimentos com no máximo quatro tratamentos e a demonstração
algébrica não era trivial até o momento de obter os resultados simulados. Conclui-se que o número de opções de se planejar
em changeover é bem menor e mais restrito em comparação ao planejamento em quadrado latino.
Palavras chave:
Álgebra. Ensaios rotacionais. Quadrado latino. Simulação.
Changeover testing planning in animal experimentation
Abstract
In experimentation with large animals, especially with dairy cows, it is very common to use alternative tests. In this type of
trial, animals receive two or more treatments in sequence. The main justifications for the use of this particular type of assay are
due to the high cost of the animals and the heterogeneity of these animals. These tests are basically classified into two types:
Rotating Tests (Changeover) and Reversal Tests (Switch-back). To ensure that the effects of
treatments are properly evaluated,
pre-established rules and restrictions on randomization of treatments are necessary
for planning such trials. Thus, the objective of
this article is to present possible ways to plan changeover designs, and a routine was developed in the R software to determine
the number of balanced changeovers of an order n, since in the literature the number of possible balanced changeovers was
found only for experiments with a maximum of four treatments and the algebraic demonstration was not trivial until the
time of obtaining the simulated results. It is concluded that the number of options to plan in changeover is much smaller and
more restricted compared to planning in Latin square.
Key words:
Algebra. Rotational tests. Latin square. Simulation.
Recebido para publicação em 30 de Agosto de 2021. Aceito para publicação 15 de Outubro de 2021.
e-ISSN: 2447-6218 /
ISSN: 2447-6218. Atribuição CC BY.
CADERNO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS
Agrarian Sciences Journal
2
Alvarenga, T. C. A. et al.
Introdução
A Estatística Experimental reúne a metodologia
usada no planejamento dos experimentos, bem como na
análise e interpretação dos resultados experimentais, de tal
forma que seja garantida a validade das conclusões. Assim,
são apresentados por Banzatto & Kronka (2006), Pimentel
Gomes (2006) e Sampaio (2010) alguns con- ceitos
importantes na experimentação, bem como os
delineamentos mais usuais. Entre os delineamentos, mais
comuns, destacam-se, o delineamento inteiramen- te
casualizado, em blocos casualizado e em quadrados latinos,
no entanto, abordagens sobre os delineamentos alternativos
não são tão comuns aos livros básicos que abordam sobre
estatística experimental, principalmente no enfoque que foi
dado neste artigo.
qualquer, dado que a demonstração algébrica não era trivial
até o momento de obter os resultados simulados.
Referencial Teórico
Quadrados Latinos
Um quadrado latino é dito estar na forma padrão
se a
primeira linha e coluna estão na ordem natural. A
relação
entre o número de quadrados latinos e o número
de quadrados
latinos na forma padrão é dada por:
Teorema 2.1.1: Para cada n ≥ 2 o número total Ln de
quadrados latinos de ordem n é dada por:
Ln = n! (n - 1)!In , (1)
em que In é o número de quadrados latinos de tamanho
n na forma padrão.
Os delineamentos alternativos são classificados por
ensaio rotacional ou ensaio de reversão, foram ini-
cialmente considerados no contexto de experimentos
agrícolas por Cochran (1939 citado por Hinkelmann,
Kempthorne, 2005). Outros desenvolvimentos vieram com
aplicações em ensaios de nutrição animal, em ensaios de
atividade biológica, em ensaios farmacêuticos e clínicos,
psicologia e na pesquisa industrial (Hinkelmann; Kemp-
thorne, 2005). No caso dos delineamentos alternativos,
se
tratando de nutrição animal, os tratamentos atribuídos
a cada
animal são diferentes em cada período. Estes são
conhecidos
como ensaios rotacionais (changeover ou cros-
sover).
Existem ensaios alternativos nos quais o animal volta a
receber o último tratamento no fim do ensaio, o que ocorre
nos experimentos de reversão (switch-back).
Neste artigo
será tratado apenas dos ensaios rotacionais.
O número total de quadrados latinos é desconhe-
cido
para n > 11. O melhor resultado possível é dado por (Lint;
Wilson, 1992), ou seja,
Teorema 2.1.2:
O número de quadrados latinos de ordem
n satisfaz (2):
(2)
sendo k = 1, ... , n.
Este último teorema pode ser demonstrado utili-
zando-se conceitos sofisticados de análise combinatória. A
tabela 1 apresenta o número de quadrados latinos até a ordem
11, de acordo com Laywine e Mullen (1998).
Os ensaios rotacionais são muito utilizados em
pesquisas, seja no contexto de experimentos agrícolas ou
em ensaios de alimentação de animais, assim a par- tir de
um planejamento adequado têm-se experimentos mais
conclusivos e que fornecem informações úteis e confiáveis.
O planejamento de tais ensaios é discutido por alguns
pesquisadores como Williams (1949). A for- ma mais
simples de se planejar um ensaio rotacional é utilizando o
delineamento em quadrado latino (DQL), no qual o número
de tratamentos (t) é igual ao número de linhas e colunas, em
que todos os tratamentos tem que ser seguido e precedido
dos demais, característica
que o nomeia de quadrado latino
balanceado. Nesse tipo
de ensaio, cada animal é considerado
uma linha e é ex- posto a uma sequência de dois ou mais
tratamentos em sucessivos períodos experimentais,
considerados como as colunas. No DQL cada tratamento
deve aparecer uma única vez em cada linha e em cada
coluna.
Changeover
Os ensaios em changeover, geralmente, são rea-
lizados utilizando-se um delineamento em quadrado latino e
levam em consideração o princípio do controle local
aplicado em dois sentidos (horizontal e vertical) para que se
possa isolar o erro experimental. Assim, além do efeito dos
tratamentos, imposto pelo pesqui- sador, outras duas fontes
de variabilidade inerente ao material experimental ou
condições ambientais em que o experimento é conduzido
também são controladas. Essas fontes de variação são
geralmente denominadas de linhas e colunas. Na
experimentação com animais as colunas podem representar
os períodos de tempo e as linhas podem representar os
animais (Hinkelmann; Kempthorne, 2005).
Assim, o objetivo desse trabalho foi apresentar de
forma didática, as possíveis formas de se planejar ex-
perimentos rotacionais, já que os planejamentos desses
ensaios podem ser facilmente realizados utilizando-se o
software R (R Core Team, 2021), além disso, foi desen-
volvida uma rotina no software R para a determinação do
número de changeover balanceadas de uma ordem
Denota-se o delineamento em changeover com t
tratamentos, n animais e p períodos por COD (t, n, p)
(Hinkelmann; Kempthorne, 2005).
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
3
Planejamento de ensaios
changeover
na experimentação animal
Tabela 1 – Número de quadrados latinos de tamanho n
n
Quadrados latinos na forma padrão
Todos os quadrados latinos
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
4
56
9408
16942080
> 5,35×1011
> 3,77×1017
> 7,5×1024
> 5,3×1033
2
12
576
161280
812851200
61479419904000
> 1,09×1020
> 5,52×1027
> 9,9×1036
> 7,7×1047
Segundo Cheng e Wu (1980) um delineamento
em
changeover é dito uniforme nos períodos se cada trata- mento
(t) é atribuído a
1
animais em cada período e dito
uniforme
nos sujeitos se cada tratamento (t) é atribuído
2 vezes a cada sujeito e dito apenas uniforme se ele é
uniforme nos períodos e nos sujeitos simultaneamente.
Segundo Williams (1949) para o caso de se ter
um
número par de tratamentos, para que seja garantido o
balanceamento é necessário apenas um quadrado latino.
Porém, quando esse número é ímpar, o balanceamento é
atingido com dois quadrados latinos. Para os casos de se ter
repetições de quadrados latinos em um ensaio em
changeover, pode-se usar qualquer número de quadra- dos
latinos quando o número de tratamentos for par. Porém, se o
número de tratamentos for ímpar, o número de repetições
deve ser múltiplo de dois, para garantir o balanceamento.
De acordo com Savian (2013), no changeover exis- tem
casos particulares em que o número de tratamentos é
maior do
que o número de períodos e, consequentemen- te, o animal é
tido como um bloco incompleto. Um dos principais
problemas dos delineamentos changeover são os efeitos
residuais, também chamado de carryover, que
ocorrem
quando o efeito de um tratamento, atribuído em um período de
tempo, influencia no efeito do tratamento
atribuído no período
subsequente, distorcendo seu real efeito.
Williams (1949) apresenta um método para a
obtenção de ensaios changeover balanceados, tanto para
número par como ímpar de tratamentos.
Hinkelmann e Kempthorne (2005) definem que
um
changeover é dito fortemente balanceado quando cada
tratamento é imediatamente precedido por cada um dos outros
tratamentos, inclusive por si próprio, um mesmo número de
vezes. Esse tipo especial de changeover não será tratado
neste trabalho.
O pesquisador pode evitar os efeitos de carryover
de
diferentes formas. Uma delas é considerar um pe- ríodo
extra, de espera, entre a aplicação dos diferentes
tratamentos, geralmente chamado de washout. Outra forma
seria considerar uma sequência balanceada dos tratamentos,
ou seja, planejar um ensaio rotacional em changeover
balanceado (Savian, 2013).
A utilização de quadrados latinos adequados para changeover
na experimentação animal
Delineamentos em
changeover
balanceados
Hinkelmann e Kempthorne (2005) e Williams
(1949) apresentam métodos para a construção de deli-
neamentos balanceados. Nesse caso, quando o número
de
tratamentos é par, será necessário apenas um quadra-
do
latino, ou seja, é possível obter um quadrado latino
balanceado com t unidades experimentais (t vacas, por
exemplo). Quando o número de tratamentos é ímpar serão
necessários dois quadrados latinos, ou seja, o balancea-
mento é possível através de 2t unidades experimentais (2t
vacas, por exemplo).
Nos ensaios changeover balanceados, cada tra-
tamento deve ser precedido e seguido por cada um dos
outros tratamentos o mesmo número de vezes. Portanto, a
ordem dos tratamentos a serem atribuídos às unidades
experimentais não pode ser de forma totalmente aleatória. Em
outras palavras, para contornar o problema do efeito residual
de um tratamento sobre outro é preciso usar uma
sequência
balanceada. Portanto, não é qualquer forma casualizada de
delineamento em quadrado latino que
garante a execução de
um ensaio changeover balanceado.
Nos ensaios changeover balanceados podem ser
consideradas diferentes configurações de delineamentos
em
quadrado latino, desde que a condição de balancea-
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
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Alvarenga, T. C. A. et al.
mento seja obedecida. Quando t = 2 tratamentos tem-se
um
único quadrado latino. Para t = 3 tratamentos têm-se
dois
possíveis quadrados latinos balanceados (Wang et al., 2009).
Porém, a demonstração do número de possí- veis quadrados
latinos que podem ser utilizados como
changeover
balanceados não é trivial e não foi encontrada
na literatura.
Número par de tratamentos
A ideia básica é: os tratamentos são indexados
pelas classes de congruência módulo t, isto é, pelos ele-
mentos do Z
t
. Para mais detalhes sobre a congruência em
módulo, consulte Santos (2007). A primeira linha deve ser de tal
forma que as diferenças entre termos consecutivos
sejam todos
os elementos de Zt. Para t tratamentos uma solução é a
primeira linha ser dada por:
Neste trabalho serão considerados os delinea-
mentos em que cada tratamento é aplicado uma única vez
para cada unidade experimental, balanceados para o efeito
do tratamento subsequente, bem como para o tratamento
anterior. Nesse tipo de balanceamento, de- nominado de
balanceamento de primeira ordem, cada tratamento é
precedido e seguido por todos os outros o mesmo número de
vezes.
0
1 t -1
2
t -2
3
t -3 ............ t/2
(3)
Na tabela 2, encontra-se a construção de um
quadrado latino balanceado com quatro tratamentos, sendo
que a primeira linha do quadrado é dada por (3) e as demais
são dadas pela adição sequencial de uma unidade em
módulo quatro.
Segundo Williams (1949), delineamentos balan-
ceados podem ser derivados de quadrados latinos cíclicos
de
tamanho t, em que as linhas representam as vacas, e as
colunas, as ordens de aplicações dos tratamentos. A seguir
serão descritos os dois possíveis casos do deli- neamento,
ou seja, quando t é par ou ímpar, conforme Williams
(1949).
A construção balanceada também pode ser feita
acrescentando ou subtraindo um número inteiro de cada
linha
em módulo t. No entanto o quadrado latino obtido será
equivalente ao anterior.
Exemplifica-se, mostrando que se somando 3, em
módulo quatro, na primeira linha obtém-se o resultado
apresentado na Tabela 3.
Tabela 2 – Balanceamento com quatro tratamentos
Períodos
Vacas
1
2
3
4
1
2
3
4
0
1
2
3
1
2
3
0
3
0
1
2
2
3
0
1
linha 1
(linha1+1)(mod4)
(linha2+1)(mod4)
(linha3+1)(mod4)
Tabela 3:
Quadrado balanceado.
Períodos
Vacas
1
2
3
4
1
2
3
4
0
3
2
1
1
0
3
2
3
2
1
0
2
1
0
3
linha 1
(linha1+3)(mod4)
(linha2+3)(mod4)
(linha3+3)(mod4)
Número de tratamentos ímpar
valor ocorra duas vezes. Para t tratamentos uma solução é a
primeira linha ser dada por:
Quando o número de tratamentos é ímpar, o
balanceamento não é possível apenas com um quadrado latino
de ordem (t x t). O balanceamento é obtido com dois
quadrados latinos de ordem (t x t). A ideia aqui é que nas
duas primeiras linhas as diferenças entre termos
consecutivos
sejam todos os elementos de Z
t
em que cada
•
Linha do primeiro quadrado latino balanceado
0 1
t -1 2 t -2
3 t -3 ........... (t+1)/2
(4)
•
Linha do segundo quadrado latino balanceado;
utiliza-se do espelho da linha dada em (4)
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5
Planejamento de ensaios
changeover
na experimentação animal
(t+1)/2. ............ t -3
3
t -2
2
t -1 1
0 (5)
Planejamento de changeover balanceados no software R
Na tabela 4, encontra-se a construção de dois
quadrados latinos balanceados com cinco tratamentos (0,1,
2, 3,4), sendo que a primeira linha do quadrado é dada por
(4) e as demais é dada pela adição sequencial de uma
unidade em módulo cinco. Já a primeira linha do segundo
quadrado é dada por (5), e as demais linhas são dadas pela
adição sequencial de uma unidade em módulo cinco.
O planejamento de ensaios changeover balan-
ceados pode ser facilmente realizado utilizando-se o
software R (R Core Team, 2021). Utilizando-se a função
williams(ntmt, tmts) do pacote randomizeBE (Labes, 2021)
podem ser obtidas configurações de changeover para
qualquer número de tratamentos.
Tabela 4:
Quadrados latinos com cinco tratamentos
Período
Vacas
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
1
2
3
4
0
4
0
1
2
3
2
3
4
0
1
3
4
0
1
2
QL1
Período
Vacas
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3
4
0
1
2
2
3
4
0
1
4
0
1
2
3
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
QL2
Tabela 5:
Linhas iniciais para pares de quadrados latinos balanceados
T
Linhas
3
5
7
9
11
0 1 2
0 1 4 2 3
0 1 6 2 5 3 4
1 9 2 8 3 7 4 6 5
0 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6
0 2 1
3 2 4 1 0
4 3 5 2 6 1 0
5 6 4 7 3 8 2 9 1 0
6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 0
Material e Métodos
a determinação do número médio de quadrados latinos
balanceados de uma ordem n. E utilizou-se dos resulta- dos
simulados, para obter uma forma algébrica para a ilustração
dos possíveis planejamentos de acordo com o número de
tratamentos.
Neste artigo foi utilizado o software R (R Core
Team, 2021), mais especificamente a função williams do
pacote randomizeBE (Labes, 2021), para ilustrar o plane-
jamento de ensaios changeover balanceados considerando
diferentes números de tratamentos.
Função
williams
do pacote
randomizeBE
Como a definição do número de possíveis qua-
drados latinos que podem ser utilizados em ensaios chan-
geover balanceados não pode ser demonstrada de forma
trivial, foi desenvolvida uma rotina no software R para
Ao executar a função williams do pacote randomi-
zeBE (Labes, 2021) no software R (R Core Team, 2021), tem-
se um único quadrado latino balanceado quando o n, número
de tratamento é par e dois quadrados latinos
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
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Alvarenga, T. C. A. et al.
quando o n, número de tratamentos é ímpar. Os quadrados são
obtidos de forma aleatória, de todas as configurações
possíveis.
Uma vez carregado o pacote randomizeBE, basta
usar a função willians(ntmt, tmts) para obtenção do(s)
quadrado(s) latino(s) balanceado(s). Os argumentos da
função são ntmt e tmts, os quais referem-se, respectiva-
mente, ao número de tratamentos e a um vetor com a
identificação dos tratamentos. Caso não seja fornecido o
vetor para tmts, o default é considerar uma sequência de
letras maiúsculas A, B, C, .... .
Para instalar o pacote randomizeBE, deve-se seguir
as
instruções abaixo:
•
Após iniciar o programa R, clicar em “pacotes” no
menu;
Determinação do número médio de quadrados latinos
balanceados
•
Clicar em “instalar pacote(s)”;
•
Na janela que se abrir selecione o repositório
CRAN mais próximo;
Na literatura foi encontrado o número de possíveis
quadrados latinos balanceados apenas para experimen- tos
com no máximo quatro tratamentos (Wang, Wang e Gong,
2009). A demonstração algébrica não é trivial. Assim, foi
desenvolvido no software R (R Core Team,
2021) uma
rotina para a determinação do número médio
de quadrados
latinos balanceados de uma ordem n. A rotina é apresentada
neste artigo. Executando a rotina
apresentada para os casos
de t tratamentos obtiveram-se
os resultados apresentados
neste artigo.
•
Selecionar o pacote randomizeBE na lista apre-
sentada e instalá-lo;
•
Após a instalação do pacote, o mesmo deve ser
carregado antes de ser utilizado. Para isso basta
digitar na linha de comando do R: library(rando-
mizeBE) ou require(randomizeBE) e <ENTER>.
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
7
Planejamento de ensaios
changeover
na experimentação animal
Resultados e discussão
Caso sejam considerados apenas dois tratamentos,
basta digitar na linha de comando do R:
Ao executar a função williams do pacote randomi-
zeBE (Labes, 2021) no software R (R Core Team, 2021), tem-
se um único quadrado latino balanceado quando o n, número
de tratamento é par e dois quadrados latinos
quando o n,
número de tratamentos é ímpar. Os quadrados são obtidos de
forma aleatória, de todas as configurações
possíveis.
> williams(2)
obtendo-se como saída:
[1] “AB” “BA”
a qual corresponde ao quadrado latino apresentado na
Tabela 6.
Tabela 6 – Quadrado latino de ordem 2.
Período
Vacas
1
2
1
2
A
B
B
A
No caso de três tratamentos tem-se:
> williams(3)
obtendo-se como saída:
[1] “ABC” “ACB” “BAC” “BCA”
a qual corresponde ao quadrado latino apresentado na Tabela 7.
“CAB”
“CBA”
Tabela 7 – Quadrados latinos de ordem 3.
Período
Quadrado
Animais
1
2
3
1
2
3
4
5
6
A
B
C
A
B
C
B
C
A
C
A
B
C
A
B
B
C
A
QL1
QL2
Para número de tratamentos iguais a dois e três,
conforme pode-se observar, respectivamente, nas Tabelas
6 e
7, os resultados são únicos. Porém, para números
maiores de tratamentos, tem-se um maior número de
opções de quadrados latinos balanceados.
No caso de quatro tratamentos tem-se:
> williams(4)
obtendo-se como saída:
[1] “ADCB” “BCDA” “CABD” “DBAC”
a qual corresponde ao quadrado latino apresentado na Tabela 8.
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
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Alvarenga, T. C. A. et al.
Tabela 8 – Quadrados latinos de ordem 4
Períodos
Quadrado
Animais
1
2
3
4
1
2
3
4
A
B
C
D
D
C
A
B
C
D
B
A
B
A
D
C
QL1
No caso de quatro tratamentos, existem seis
possíveis quadrados latinos balanceados (Wang, Wang e
Gong, 2009). Para obtê-los no R, basta repetir o comando
williams(4), repetidamente.
No caso de cinco tratamentos tem-se:
> williams(5)
obtendo-se como saída:
[1] “ADEBC” “BCDEA” “CEBAD” “DBACE”
“EACDB”
[2] “AEDCB” “BDCAE” “CBEDA” “DABEC”
os quais correspondem aos quadrados latinos apresentados na Tabela 9.
“ECABD”
Tabela 9: Quadrados latinos balanceados de ordem 5
Períodos
Quadrado
Animais
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
D
C
E
B
A
E
D
B
A
C
E
D
B
A
C
D
C
E
B
A
B
E
A
C
D
C
A
D
E
B
C
A
D
E
B
B
E
A
C
D
QL1
QL2
Na literatura foi encontrado o número de possíveis
quadrados latinos balanceados apenas para experimentos com
no máximo quatro tratamentos (Wang, Wang e Gong, 2009). A
demonstração algébrica não é trivial. Assim, foi
desenvolvido
no software R (R Core Team, 2021) uma rotina para a
determinação do número de quadrados
latinos balanceados de uma ordem n de acordo com a
função williams do pacote randomizeBE (Labes, 2021).
Executando a rotina para os casos de dois a sete
tratamentos obtiveram-se os resultados apresentados na
Tabela 10. Nessa tabela também consta o número de
possíveis quadrados latinos e pode-se observar que o número
de balanceados é bem menor.
Tabela 10 – Número total de quadrados latinos e quadrados latinos balanceados obtidos pela função wiilians, do pacote
randomizeBE.
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
9
Planejamento de ensaios
changeover
na experimentação animal
n
Número total de quadrados latinos
Número de quadrados latinos balanceados
2
3
4
5
6
7
2
12
576
161280
812851200
61479419904000
1
1
6
12
120
360
Na utilização da rotina recomenda-se aumentar o
valor de N, conforme aumenta-se o número de trata-
mentos.
, quando n é ímpar (7)
A partir dos resultados encontrados na simulação,
conforme encontrado em (2) a forma algébrica para a
contagem dos quadrados latinos, assim, sugere-se a forma
algébrica para os quadrados latinos balanceados (6) e (7):
Utilizando as expressões em (6) e (7), obtêm-se as conta- gens
dos quadrados latinos balanceados até 11, conforme Tabela 11.
Observa-se que as opções de planejamento em quadrados
latino balanceado são bem restritas compara-
das ao
planejamento em quadrado latino.
, quando n é par (6)
Tabela 11 – Número de quadrados latinos na forma padrão, quadrados latinos e balanceados obtidos por forma algébrica.
Número de quadrados latinos
balanceados
n
Quadrados latinos na forma padrão
Todos os quadrados latinos
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
4
56
9408
16942080
> 5,35×1011
> 3,77×1017
> 7,5×1024
> 5,3×1033
2
12
576
161280
812851200
61479419904000
> 1,09×1020
> 5,52×1027
> 9,9×1036
> 7,7×1047
1
1
6
12
120
360
5040
20160
362880
1814400
Em Wang, Wang e Gong (2009) é apresentado
planejamentos de changeover no software SAS, no entanto,
a
abordagem de mostrar como obter os planejamentos em
changeover de maneira didática, num software livre e
gratuito é inédita. Observa-se que a apresentação das
possibilidades e contagem dos possíveis planejamentos
changeover é algo que é abordado neste artigo, que ante-
riormente a este não se observava na literatura trabalhos
com
essa finalidade.
tamentos é igual a quatro, em Pezzullo (2008) fornece
apenas um quadrado latino balanceado, no entanto,
existem
muitos outros, conforme apresentado neste artigo.
Senn (2002) aponta que muitas das vezes não há uma
boa razão para escolher um quadrado latino em vez de outro; a
escolha pode ser feita de maneira aleatória. As propriedades de
quadrados latinos balanceados também
são estudadas e
discutidas em Jones e Kenward (2003).
Em Pezzullo (2008) forneceu uma lista contendo possi-
bilidades de planejamentos de changeover, no entanto, os
croquis listados por Pezzullo (2008) fornecem apenas um
quadrado latino balanceado para um certo número de
tratamentos. Por exemplo, quando o número de tra-
Cad. Ciênc. Agrá., v. 13, p. 01–10, DOI: https://doi.org/10.35699/2447-6218.2021.35861
10
Alvarenga, T. C. A. et al.
Conclusão
latinos balanceados de ordem n, contribuindo assim, com
a literatura.
A função williams do pacote randomizeBE (Labes,
2021) do software R (R Core Team, 2021) é simples e
prática para se obter quadrados latinos balanceados. A
rotina é eficiente na definição dos quadrados latinos ba-
lanceados. A partir dos resultados simulados encontrou uma
forma algébrica para a contagem dos quadrados
Agradecimento
Agradecimentos a Coordenação de Aperfeiçoa-
mento de Pessoal de Nível Superior pelo suporte finan-
ceiro. Ao Professor Dr. Júlio Sílvio de Sousa Bueno Filho,
pela ajuda nas simulações.
Referências
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